December 06, 2007

Παιχνίδια με το μέσο όρο

Παιχνίδι πρώτο: ένα απλό μηχάνημα τύπου "μονόχειρα ληστή" έχει δύο μόνο αποτελέσματα: "φρουτάκι" (κέρδισες) και "GAME OVER". Καθένα τους έρχεται με ίση πιθανότητα. Για να παίξεις βάζεις 2€ στον κερματοδέκτη. Όποτε κερδίζεις, κερδίζεις από 2€. Αλλά μπορείς να πάρεις τα όποια κέρδη και να φύγεις, μόνον όταν πετύχεις "GAME OVER". Για παράδειγμα: παίζεις κι έρχεται φρουτάκι. Έχεις 2€. Ξαναπαίζεις κι έρχεται πάλι φρουτάκι. Έχεις 4€. Τρίτη φορά, γκέημ όβερ. Πέφτουν από το μηχάνημα τέσσερα ευρώ, δύο έχεις ήδη βάλει, άρα κέρδισες δύο.

Πόσα κερδίζει κανείς κατά μέσο όρο από το παιχνίδι αυτό; Δηλαδή αν παίξεις Ν φορές το παιχνίδι, και κερδίσεις Κ_1, Κ_2,...Κ_Ν ποσά (όποτε χάνεις το δίευρο με τη μία, βάζεις -2 ως κέρδος), πόσο γίνεται το Κ_1+ Κ_2+...+Κ_Ν διά Ν, για Ν όλο και μεγαλύτερο;

Παιχνίδι δεύτερο: το ίδιο απλό μηχάνημα, όπου όμως την πρώτη φορά που θα έρθει φρουτάκι κερδίζεις δύο ευρώ, κάθε άλλη φορά (κατά τη διάρκεια της ίδιας παρτίδας) διπλασιάζεις τα κέρδη που έχεις ήδη.

Θέτουμε το ίδιο ερώτημα: πόσα κερδίζει κανείς κατά μέσο όρο από το παιχνίδι αυτό;

Η απάντηση - που αφήνεται ως άσκηση και για τα δύο παιχνίδια - μπορεί να εκπλήξει τους πολίτες της χώρας μας, η μαθητιώσα νεολαία της οποίας δεν τα πάει φαίνεται τόσο καλά με τα τεστ δεξιοτήτων που ορίζει ο ΟΟΣΑ για να μετρήσει τη χρησιμότητα της παρεχόμενης δευτεροβάθμιας μόρφωσης για την "αγορά εργασίας" (το κεφάλαιο ντε!)
Ίσως γι αυτό μας κοροϊδεύουν τόσο συστηματικά με τους μέσους όρους.

BONUS PROBLEM: Έστω μια ομάδα εργαζόμενων Α με μέσο μισθό Μ(Α) και μια άλλη ομάδα Β με μέσο μισθό Μ(Β). Έστω Μ(Α) < Μ(Β). Είναι άραγε δυνατό, σε ορισμένες περιπτώσεις (αν ναι, σε ποιές;) να μετακινήσουμε ένα μέρος α της ομάδας Α στην ομάδα Β, έτσι ώστε οι μέσοι όροι μισθού καθεμιάς νέας ομάδας (Α χωρίς α και Β μαζί με α) να πέσουν σε σχέση με την τιμή που είχαν πριν τη μετακίνηση των α από την Α στη Β;
(Ο ευρών κερδίζει θέση συμβούλου του κ.Γκαργκάνα - του διοικητού).

12 comments:

Velazquez said...

Στο bouns η απάντηση ειναι ναι,αρκει ο μισθός του μετακινούμενου ατόμου να είναι υψηλότερος του Μ(Α) και χαμηλότερος του Μ(Β).
Τα άλλα δύο βαριέμαι τώρα να τα δουλέψω με συνδυαστική,ίσως αργότερα...

ΥΓ.Αν και σαν εορτή δε μου αρέσει καθόλου,ΚΑΛΑ ΧΡΙΣΤΟΥΓΕΝΝΑ ΜΑΥΡΟ ΠΡΟΒΑΤΟ.

Μαύρο πρόβατο said...

Χα, χα, ακριβώς!

Τώρα για τα άλλα δύο άντε να υπολογίσουμε στα γρήγορα τις σειρούλες!

Καλά Χριστούγεννα σύντροφε, αλλά ελπίζω να τα ξαναπούμε μέχρι τότε :-)

exiled said...

1) Καλώς τον!
2) Για να είμαι ειλικρινής, μόνο το μπόνους πρόβλημα κατάλαβα. Στο πρώτο είχα αρχικώς την εντύπωση πως τα μισά σου λεφτά θα τα χάσεις. Όχι ότι έκατσα και έκανα πράξεις, αλλά από ένστικτο. Για το δεύτερο, μάλλον το αντίθετο. Ότι δηλ. θα κερδίσει κανείς πολύ περισσότερα.
3) Τζόγος λοιπόν το ασφαλιστικό. Όσο για τη Βούλτεψη, δεν είναι βουλευτής; Είναι ακόμα δημοσιογράφος; Και αν ναι, τότε γιατί ψεύδεται κατά τέτοιον αισχρό τρόπο; Μισό, τώρα κατάλαβα. Υπάρχουν και οι αργομισθίες! Ας είναι καλά οι κουμπάροι αυτού του (τώρα γαλάζιου, προηγουμένως πράσινου) τόπου. Έτσι, έχουμε όλα τα δεδομένα και η κα. Β. βγαίνει σωστή...
4) Αυτό για τη σχέση του PISA test και του ΟΟΣΑ, ομολογώ πως μου είχε διαφύγει, μολονότι το ψιλοκοίταξα το θέμα (και πως να μην το κάνει κανείς στη Γερμανία, όπου πήρε διαστάσεις εθνικού ζητήματος). Πολλά αλλάζουν κοιτώντας κι αυτήν την παράμετρο. Αλλά και πάλι, γιατί να έχουν τα παιδιά τόσο χαμηλές επιδόσεις; Εκτός κι αν ο αναλυτής της σελίδας δεν πιστεύει στην έννοια της προόδου, οπότε μάλλον χακεριά μυρίζομαι να έχει παίξει για την ανάρτηση αυτού εδώ του ποστ. :)))
5) Πάω να σχολιάσω στο από πάνω ποστ.

Velazquez said...

προβατο να σου πω:

εχω μια απορια στον monte-carlo

εστω πως θελω να βρω το π/4

Βαζω τυχαια σημεια και βλέπω αν ανήκουν στο τεταρτοκύκλιο.
Πως επιλέγω τα σημεία και την ακτίνα του τεταρτοκυκλίου;
πχ βαζω ακτινα 10 αρα ζητάω τυχαια νούμερα απο 0 έως 10?(τα οποια θα ειναι τα χ και ψ? )

ευχαριστώ για την επίλυση της απορίας

Μαύρο πρόβατο said...

@velazquez: élémentaire! ;-)
Πολύ απλά, θα πάρεις μια γεννήτρια ψευδοτυχαίων αριθμών (αυτήν που έχει η γλώσσα σου, ή θα τη φτιάξεις μόνος σου - η απλούστερη είναι η X(n+1)= aX(n)+ c mod m, για κατάλληλο μεγάλο a και m, μετά κανονικοποιείς διαιρώντας διά m-1, ή βρες μια βιβλιοθήκη GNU style) και θα πάρεις (πολλά) σημεία σ=(random(x), random(y). Όποτε random(x)^2+random(y)^2<=1, θα αυξάνεις ένα μετρητή "καλών" σημείων. Το π/4 θα το προσεγγίσεις ως το κλάσμα καλών/συνολικού αριθμού σημείων.
Η διαδικασία που προσομειώνουμε έτσι είναι το να έχεις ένα τετράγωνο πλευράς 1 στο οποίο έχεις εγγράψει ένα τεταρτοκύκλιο ακτίνας 1, και πετάς σημεία στην τύχη μέσα στο τετράγωνο. Ο λόγος αυτών που πέφτουν μέσα στο τεταρτοκύκλιο προς το συνολικό αριθμό, θα τείνει προς το λόγο των εμβαδών τεταρτοκύκλιου και τετραγώνου, αν τα σημεία κατανέμονται ομοιόμορφα - ήγουν (π/4)/1.

@exiled: καλώς σας ματαβρήκα σύντροφοι! Λοιπόν μου ξύπνησε κι εμένα την περιέργεια αυτή η PISA και κατέβασα τον πρώτο τόμο (της ανάλυσης) από το σάιτ του ΟΟΣΑ (στο λινκ που δίνω).
Δεν ξέρω τι ειπώθηκε στην Ελλάδα, τα αποτελέσματα της χώρας δεν είναι τόσο κακά, αν μάλιστα λάβουμε υπόψη οτι οι έλληνες μαθητές δηλώνουν οτι δεν πολυπροσπάθησαν και δεν πολυζορίζονται γενικώς, και οι γυμνασιάρχες δηλώνουν οτι με λίγη διδασκαλία των θετικών επιστημών παραπάνω, βλέπουν έντονη θετική διαφορά στην επίδοση.
Η βασική μου αντίρρηση δε στοχεύει την έννοια της "προόδου" (πώς μπορεί κανείς να είναι εναντίον μιας έννοιας; - περιμένω φιλοσοφική ανάπτυξη του ζητήματος ;-)) αλλά ξεκινάει από μια αφελή απορία, που μεταλλάχθηκε σε οργή στη συνέχεια της ανάγνωσης.
Ας περιοριστούμε στα μαθηματικά, που τα ξέρω καλύτερα. Επειδή λοιπόν είναι μια ώριμη, παμπάλαια επιστήμη, υποθέτω οτι λίγο-πολύ σε όλον τον κόσμο, οι μαθητές έρχονται σ'επαφή με τα ίδια πάνω-κάτω περιεχόμενα στις ίδιες πάνω-κάτω ηλικίες. Στα δεκαπέντε (τρίτη γυμνασίου;) γνωριζόμαστε σε κάποιο βάθος με τους ρητούς αριθμούς, τις δευτεροβάθμιες εξισώσεις και τα γραμμικά συστήματα. Ή ακόμη με τα βασικά της ευκλείδειας γεωμετρίας.
Θα περίμενα λοιπόν όποιος θέλει να μετρήσει το επίπεδο της μαθηματικής μόρφωσης των παιδιών, να τους βάλει πέντε ασκησούλες και καμμιά έξυπνη ερώτηση.
Αμ δε! Αντί γι αυτό έχουμε μια σειρά από ιστοριούλες, που αναφέρονται πάντα σε μια υποτιθέμενη "πραγματική κατάσταση". τα γελοία récits καταλήγουν σε γελοίες ερωτήσεις που ζητούν (τετριμμένες) απαντήσεις, από πολλές δυνατές επιλογές ή καμμιά φορά και με δυνατότητα ελεύθερης ανάπτυξης.
Όλα αυτά βέβαια παραπέμπουν άμεσα σε ένα ερώτημα: "ξέρεις να μετράς ρε φίλε;" Εμένα θα μ'έπιανε κατάθλιψη αν μου ζητούσαν στα δεκαπέντε να αξιολογήσω με τέτοιο τρόπο τη μαθηματική μου κρίση!! Αλλά βλέπεις οι τύποι του ΟΟΣΑ ξέρουν πολύ καλά τι θέλουν: θέλουν να μετρήσουν την compétence, την ποιότητα της διαμορφούμενης εργατικής δύναμης. Χεστήκανε για την εισαγωγή στον επιστημονικό συλλογισμό, την ανάπτυξη της αφηρημένης σκέψης και άλλες "πνευματικές αηδίες". Όσο το σκέφτομαι παραπάνω, τόσο νομίζω οτι (ως μετρούμενο δείγμα) θα έσκιζα μεγαλοπρεπώς τα κωλόχαρτά τους και θα σηκωνόμουν να φύγω από τις εξετάσεις της μαλακίας.

Θα μου πεις, όταν είσαι σε ικανοποιητικό για την ηλικία επίπεδο στα μαθηματικά, θα ξέρεις ν'απαντήσεις και στα άθλια τεστάκια. Συμφωνώ απόλυτα. Όμως τι καταλαβαίνεις (ως εκπαιδευτικός)όταν οι μαθητές σου απαντούν σωστά ή λάθος στο τι σχηματάκια μπορούν να τυλίξουν ο Τομ κι ο Τζέρρυ (ή κάτι τέτοιο) με 32 μέτρα σύρμα (ή ξύλο;) Κατά τη γνώμη μου, τίποτα! Το μόνο που μετράμε είναι πόσο υπάκουα είναι βλαστάρια μας...

Όσο για το ασφαλιστικό, προφανώς δεν είναι πρόβλημα μετρήματος και μελετών. Παντού στην Ευρώπη, όπως γνωρίζουμε, η ίδια πίεση ασκείται και είναι καθαρά θέμα ταξικής πάλης. Απλώς είναι εξοργιστικό να θέλουν από πάνω να μας φορέσουν τις χαντρούλες και τα καθρεφτάκια των ελεϊνών "μελετών" τους, που δεν τηρούν ούτε το πιό στοιχειώδες πρόσχημα σοβαρότητας. Τουλάχιστον αλλού βρίσκουν απαραίτητο να υπάρχει κι ένα πιό ραφινάτο "εκλογικευτικό" περιτύλιγμα στα ίδια μέτρα επίθεσης του κεφάλαιου στην εργασία.
Δείτε στο ιστολόγιο ορισμένα στοιχειώδη ερωτήματα και ψάξετε να βρείτε σε ποιά από αυτά απάντησαν οι θεομπαίχτες τύπου Σπράου, Αναλυτή κ.α. που "μελέτησαν" το ασφαλιστικό...
Και προσθέστε στη χορωδία τους ηλιθίους που στοχαστικά γράφουν για το "όντως μεγάλο πρόβλημα" των συντάξεων που πρέπει να λυθεί με θυσίες "εκατέρωθεν"...

Anonymous said...

Ευχαριστώ,μου λύθηκε η απορία.Οσο για την ψευδογεννήτρια ξέρω την συναρτηση απλά επειδη εγραψα τον κώδικα στο matlab δε μου χρειάστηκε.

ΥΓ.Ολο σαχλαμάρες τα αποτελέσματα του ΟΟΣΑ.Αφού την καλύτερη παιδεία την έχουν οι Σκανδιναβοί γιατι δεν βγάζουν μεγάλους ερευνητές ή φοβερές καινοτομίες;
Μια χαρά ειναι το επίπεδο των μαθηματικών και της φυσικοχημείας της χώρας(ως προς τη θεωρία).Πολύ υψηλό σε σύγκριση με αρκετές χώρες της Ευρώπης.Αλλού πάσχει το πράγμα...

exiled said...

πώς μπορεί κανείς να είναι εναντίον μιας έννοιας;

Πολιτικά μιλώντας, κανείς μπορεί να εχθρεύεται και έννοιες. Φιλοσοφικά, είναι κάτι που δεν γνωρίζω :))))

Πέρα από την πλάκα, δεν το έψαξα και τόσο το θέμα, προκειμένου να δω σε τι ερωτήματα κλήθηκαν να απαντήσουν τα παιδιά. Τα παραδείγματα που φέρνεις, μεγαλώνουν την απορία μου για τις διαστάσεις που έλαβε το ζήτημα εδώ.

Και για να επιστρέψουμε στην καλή διάθεση, φιλοσοφικά μιλώντας πάλι, κάτι τέτοιο θα απαντούσα στις εν λόγω μετρήσεις, ενώ υπό μία κοινωνική θέαση, η απάντηση θα είχε έναν παρόμοιο χαρακτήρα (που είσαι ιχνηλάτη!!!).

Χαιρετώ προς το παρόν!

talos said...

Ένας πρώτος πρόχειρος (τονίζω το πρόχειρος - σε πακέτο από τσιγάρα + τον integrator του Wolfram online), μου λέει ότι το πρώτο είναι περί τα 25 λεπτά (ο διάμεσος -median- είναι -1 ). Το δεύτερο αποκλίνει. Μιλάμε πάντα για μέσο αναμενόμενο κέρδος, έτσι;

talos said...

Εχ.. χάθηκε ένας παράγοντας 8 στο πακέτο! είναι περί τα +2 Ευρώ ο μ.ο. (αν όλα τα άλλα είναι σωστά - ο διάμεσος είναι στο -1 πάντα) στο πρώτο.

Μαύρο πρόβατο said...

Χαίρε Τάλω!

Ναι το ένα είναι η σειρά:
(-2)*1/2+ (-2+1*2)*1/2 + (-2+2*2)*1/(2^2)+...+ 2*(n-1)/(2^n)= σε λατέκ
-1+\sum_{i=0}^{\infty}\frac{n}{2^n}
=-1+\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{\infty}\frac{n}{2^{n-1}}
το οποίο κάνει
-1+ 1/2*1/(1-1/2)^2 = -1+2=1 ΑΝ δεν κάνω λάθος γιατί ούτε μολύβι δεν έχω εδώ και πληκτρολογώ ο,τι θυμάμαι.

Δίδαγμα: μόλις βγάλεις κάτι παραπάνω από ένα (ή όσο είναι) σήκω και φύγε από το παιχνίδι, γιατί όσο θα χαλάς την ώρα σου τόσο θα σταθεροποιείσαι στο ποσό του "μέσου όρου".

Το άλλο σαφώς αποκλείνει, ήγουν όσο ξημερώνει ο μέσος όρος μεγαλώνει :-)

Καλά Χριστούγεννα!! (εμείς στας Ευρώπας όπως μαθαίνεις αγωνιστικά, εσείς στα ονειρεμένα μέρη, πώς;;
:-) )

talos said...
This comment has been removed by the author.
talos said...

Το ηθικό δίδαγμα είναι ίσως πως πολλές φορές ο διάμεσος είναι πιο χρήσιμο νούμερο για να κατανοηθούν μερικά πράγματα από ότι είναι ο μ.ο.

Καλά Χριστούγεννα και από μένα.