Με τι τα κάνουν πάνω τους;

Η κούραση μου επιβάλλει να τα πω στα γρήγορα:
ο ενημερωτικός ιστότοπος iefimerida.gr φέρεται να ανήκει/διευθύνεται από κάποιον Χρ. Ράπτη. Εκ της αναγνώσεως προκύπτει οτι οι τύποι είχαν συμβόλαιο για τη Χρυσή Αυγή ώς το Φύσσα, μετά για το Σαμαρά και μετά από το δημοψήφισμα για το μεγάλο συνασπισμό υπό τον Τσίπρα.

Διαβάστε το ι-ρεπορτάζ τους για τις δημοσκοπήσεις και σημειώστε ο,τι αξιοπερίεργο παρατηρήσετε (πέραν των ορθογραφικών μαργαριτών):

Recreationes geometricæ

Έστω Ε πεπερασμένο σύνολο σημείων στο επίπεδο, με την εξής ιδιότητα: για οποιοδήποτε ζεύγος διαφορετικών σημείων του Ε υπάρχει επί της ευθείας που το ζεύγος ορίζει, ένα τρίτο σημείο του Ε.

• Να δειχθεί οτι αυτό είναι αδύνατον, εκτός εάν το Ε συνίσταται από συγγραμμικά σημεία (δηλαδή που κείνται επί ευθείας). 

Εναλλακτικά (και ισοδύναμα) η παραπάνω διατύπωση μπορεί να γίνει:

Έστω Ε  πεπερασμένο σύνολο σημείων στο επίπεδο που δεν κείνται όλα επί ευθείας.

• Να δειχθεί οτι υπάρχει τουλάχιστο μια ευθεία του επιπέδου που περιέχει δύο και μόνον δύο από τα σημεία του Ε. 

Το παραπάνω πρόβλημα είναι γνωστό ώς εικασία του Sylvester και διατυπώθηκε από τον μαθηματικό αυτόν το 1893. Αν και απλούστατο στη διατύπωσή του, αποδείχθηκε μόλις στα 1932 από τον Gallai, σύμφωνα με το θαυμάσιο (όχι πολύ) εκλαϊκευτικό βιβλίο του Berger.

Η απόδειξη και ποικίλες γενικεύσεις της (εκεί είναι το ζουμί...) είναι εύκολα προσβάσιμες και κατανοητές. Θα συνιστούσα όμως στον αναγνώστη, πριν τις αναζητήσει να δοκιμάσει να σκεφτεί ο ίδιος το πρόβλημα. Εγγυώμαι οτι η σχετική εμπειρία θα είναι ευχάριστη.

ADDED 22/08/15 Λύσεις και συζήτηση

Ο Kelly το 1948 παρουσίασε την εξής στοιχειώδη λύση:
αν δεν είναι όλα τα σημεία συγγραμμικά, τότε θα υπάρχει $\buildrel\triangle\over{abc}$ τέτοιο ώστε το ύψος (απόσταση) από το $a$ στην πλευρά (ευθεία οριζόμενη από) $bc$ να είναι το ελάχιστο. Παρατηρείστε οτι σε ένα τέτοιο τρίγωνο ούτε η γωνία $\widehat{abc}$ ούτε η $\widehat{acb}$ δεν είναι αμβλεία, αλλιώς το ύψος από το $b$ στο $ac$ (αντίστοιχα, από το $c$ στο $ab$) θα ήταν μικρότερο του αρχικώς υποτεθέντος ως ελαχίστου.
Αν η διάταξη των σημείων ήταν όπως αυτή της οποίας η ανυπαρξία ζητείται ν᾽αποδειχθεί, τότε θα υπήρχε σημείο της $d$ επί της ευθείας που ορίζουν τα $bc$.
Θεωρείστε τότε το τρίγωνο $\buildrel\triangle\over{acd}$ ή το $\buildrel\triangle\over{abd}$, και το αντιστοιχο ύψος από το $d$ (προς το $ac$ ή το $ab$ αντίστοιχα).
Προκύπτει άμεσα οτι αυτό θα πρέπει είναι μικρότερο του αρχικώς υποτεθέντος ως ελαχίστου. Αντίφαση, άρα δεν υπάρχει τέτοια διάταξη σημείων. ὅἔδ.

Σε αυτό το σημείο ο μαθητής θα μπορούσε να πάει ευχαριστημένος για ένα μπασκετάκι/freddo/snapchat/ξερωγωτικάνουντα16χρονα.
Η «μαθηματική ψυχή» όμως θα μείνει ανικανοποίητη: αυτό ήταν όλο;  Καμμία υψηλότερη αφηρημένη έννοια δε χρησιμοποιήθηκε εδώ. Ο Gallai χρησιμοποιεί το οτι μια ευθεία διαιρεί το επίπεδο σε δύο διακριτές συνδεμένες περιοχές - αλλά μέχρι εκεί.
Εφόσον μιλάμε για πεπερασμένες διατάξεις, δεν θα πρέπει το θεώρημα να προκύπτει και με τρόπο συνδυαστικό, ως αδυναμία να βγαίνουν κάποια καταλλήλως μετρώμενα κουκιά;

Θα σκιαγραφήσουμε μια τέτοια προσέγγιση· η θεμελιώδης ιδέα εδώ είναι να χρησιμοποιήσουμε την έννοια του δυικού.
Όσοι δεν την έχουν διδαχθεί, θα έχουν σίγουρα παρατηρήσει οτι στην ευκλείδεια γεωμετρία δύο σημεία ορίζουν μια ευθεία, αλλά και δύο ευθείες ορίζουν ένα σημείο.  Ναι, εκτός αν είναι παράλληλες! Θα θεωρήσουμε λοιπόν μια άλλη νοητική κατασκευή, αυτή του προβολικού επιπέδου, που περιλαμβάνει κι ένα σημείο «στο άπειρο» - έννοια του δυικού δεν είναι παρά το πέρασμα από δύο σημεία που ορίζουν μια ευθεία σε δύο ευθείες που ορίζουν ένα σημείο και τούμπαλιν. Ένας τρόπος να κατανοηθεί το σημείο στο άπειρο, είναι να απεικονίσουμε το (ευκλείδειο) επίπεδο στην επιφάνεια μιας σφαίρας: θεωρείστε το επίπεδο «εμβαπτισμένο» στον τρισδιάστατο χώρο, και μια σφαίρα η οποία τέμνεται από το εν λόγῳ επίπεδο στον ισημερινό της (της οποίας το κέντρο δηλαδή κείται στο επίπεδο). Κάθε σημείο $x$ του επιπέδου μπορεί τότε να αντιστοιχηθεί σε ένα σημείο της επιφανείας της σφαίρας ως εξής: θεωρούμε την ευθεία $ox$ που ορίζεται από τον «βόρειο πόλο» της σφαίρας $o$ (η κάθετος στο επίπεδο που περνά από το κέντρο της σφαίρας, τέμνειτην επιφάνειά της σε δύο σημεία που ονομάζουμε εδώ «πόλους»: διαλέχτε οποιονδήποτε εκ των δύο και ονομάστε τον βόρειο, τον δε άλλον πείτε τον νότιο· δεν έχουμε ορίσει προσανατολισμούς σε όποια οντότητα μας απασχολεί εδώ) και το $x$. Αυτή τέμνει την επιφάνεια της σφαίρας σε ένα σημείο $y$. Παρατηρείστε μάλιστα οτι τα σημεία του επιπέδου εκτός του κύκλου του ισημερινού, θα αντιστοιχηθούν με σημεία του βορείου ημισφαιρίου της επιφανείας της σφαίρας, ενώ αυτά εντός του κύκλου του ισημερινού, θα πάνε στο νότιο ημισφαίριο. Κάθε σημείο του επιπέδου θα έχει ακριβώς ένα ταίρι στην επιφάνεια της σφαίρας, και κάθε σημείο της επιφάνειας της σφαίρας θα είναι το ταίρι ενός σημείου του επιπέδου - εκτός από το βόρειο πόλο, που δεν θα αντιστοιχίζεται με τίποτα από το επίπεδο. Ε, στο βόρειο πόλο μπορούμε να θεωρήσουμε οτι αντιστοιχείται αυτό το περίφημο «σημείο στο άπειρο».

Το προβολικό επίπεδο λοιπόν είναι κάτι που μπορεί να έλθει σε αμφιμονοσήμαντη αντιστοιχία με την επιφάνεια μιας σφαίρας.  Μπορούμε να πούμε οτι η αντιστοιχία ορίζεται από τη στιγμή που επιλέγουμε πού θα τοποθετήσουμε τη σφαίρα, δηλαδή ποιό σημείο του επιπέδου θα αντιστοιχηθεί με το νότιο πόλο της επιφανείας της.  Το σημείο αυτό ας το πούμε αρχή του προβολικού επιπέδου.

Αν έχουμε ορίσει αρχή μπορούμε και να ορίσουμε μια αντιστοιχία κάθε «κανονικού» σημείου $\chi$ με διατεταγμένα ζεύγη πραγματικών αριθμών: $\chi=(a,b)$ (με τον κλασσικό τρόπο: ορθοκανονικό σύστημα αξόνων από την δεδομένη αρχή). Ωστόσο, με τον ίδιο τρόπο κάθε $(a,b)\in \mathbb{R}^2$ ορίζει την ευθεία $\chi^*:\: ax+by=1$.
Κάθε σημείο αντιστοιχίζεται κατ᾽αυτόν τον τρόπο με μια ακριβώς ευθεία. Σκεφτείτε οτι και το αντίστροφο ισχύει.   Με μιαν ακόμα περίεργη εξαίρεση: το σημείο της αρχής!
Θα επινοήσουμε λοιπόν κι εδώ μιαν «ευθεία στο άπειρο» όπου θα αντιστοιχεί το σημείο της αρχής, το $(0,0)$.
-Πηδάμε από το ένα θέμα στο άλλο; Κατά βάθος όχι. Μπορείτε να διαπιστώσετε οτι στην προηγούμενη κατασκευή με τη σφαίρα, τα σημεία του ισημερινού απεικονίζονται στον εαυτό τους. Εδώ με τις δυικές ευθείες κάτι ανάλογο συμβαίνει: τα σημεία τα οποία ανήκουν στις δυικές τους ευθείες, σχηματίζουν έναν κύκλο μοναδιαίας ακτίνας με κέντρο την αρχή των αξόνων. Έστω $(\alpha, \beta)$ ένα τέτοιο σημείο: ανήκει στην δυική του ευθεία αν και μόνον έχουμε $\alpha^2+\beta^2=1$. Ο γεωμετρικός τόπος των σημείων αυτών είναι λοιπόν κύκλος και οι σχετικές ευθείες είναι οι εφαπτομένες του.
Σταματάμε εδώ τη συζήτηση περί δυικών χώρων πριν μας απορροφήσει ολοκληρωτικά. Ας συγκρατήσουμε κάποια βασικά:  στο προβολικό επίπεδο $\cal{P}$, είναι δυνατόν να οριστεί ένας δυισμός, δηλαδή ένα ζεύγος απεικονίσεων τέτοιο ώστε:

• η απεικόνιση $a\longrightarrow a^*$ απεικονίζει κάθε σημείο $a$ του  $\cal{P}$ σε ευθεία $a^*$ του $\cal{P}$ και η απεικόνιση $d\longrightarrow d^*$ απεικονίζει κάθε ευθεία $d$ του  $\cal{P}$ σε σημείο $d^*$ του $\cal{P}$
• οι απεικονίσεις $a\longrightarrow a^*$  και $d\longrightarrow d^*$  είναι αντίστροφες η μια της άλλης
• αν η γραμμή $d$ περνά από το σημείο $a$, τότε η γραμμή $a^*$ περνά από το σημείο $d^*$.

Μπορούμε τώρα να θεωρήσουμε τη διάταξη $E$ των σημείων της εκφώνησης, και να αρχίσουμε να μετράμε.
Περνάμε καταρχήν στη δυική της $E$ τη $D$. Εις το εξής με τον όρο «διάταξη» θα αναφερόμαστε στην $D$.
Έστω $p_r$ ο αριθμός των πολυγώνων $r$ πλευρών μιας «κυψελωτής» διαίρεσης του $\cal{P}$ από τη διάταξη (εξ᾽ορισμού λοιπόν χωρίς «χορδές» στο εσωτερικό τους· επίσης θα θεωρήσουμε οτι κάθε πολύγωνο που δεν «κλείνει», έχει τις αποκλείνουσες πλευρές του ενωμένες στο σημείο στο άπειρο- θυμηθείτε οτι εργαζόμαστε στο προβολικό επίπεδο! Μια κυψελωτή διαίρεση είναι πολύ εύκολο να κατασκευασθεί).
Έστω $t_r$ ο αριθμός των σημείων που κείνται σε $r$ ευθείες (ορισμένες από την προηγούμενη διαίρεση).
Σημειώστε οτι τώρα αυτό που θέλουμε να αποδείξουμε ειναι $t_2\geq 1$.
Μπορούμε επίσης κατευθείαν να θεωρήσουμε οτι $t_1=0$, όπως προφανώς προκύπτει από το πληθος των σημείων στη διάταξη.
Έστω $f_0$ ο αριθμός των σημείων, $f_1$ ο αριθμός των ακμών και $f_2$ ο αριθμός των πολυγώνων της διαίρεσης.
Θα είναι λοιπόν $\displaystyle f_0=\sum t_r, \: f_2=\sum p_r,\: f_1=\sum rt_r=\frac{1}{2}\sum rp_r$.
Όμως στο προβολικό επίπεδο είναι πάντα $f_0-f_1+f_2=1$ (η λεγόμενη χαρακτηριστική Euler-Poincaré είναι ίση με 1. Σημειώστε οτι στο απλό, ευκλείδειο επίπεδο, αν έχουμε ας πούμε μοιράσει ένα κομμάτι γής σε πολυγωνικά οικόπεδα, είναι αντιστοίχως $f_0-f_1+f_2=2$).

Υποτεθείσθω λοιπόν οτι $t_r>0$ μόνον όταν $r\geq 3$.
Από τη σχέση για τη χαρ. Euler-Poincaré παίρνουμε από τη μια

$\displaystyle \sum t_r+\sum p_r=1+\sum rt_r\geq 1+3\sum t_r$ κι από την άλλη

$\displaystyle \sum t_r+\sum p_r=1+\frac{1}{2}\sum rp_r\geq 1+\frac{3}{2}\sum p_r$, δηλαδή πολλαπλασιάζοντας την πρώτη ανισότητα με $\frac{1}{3}$, τη δεύτερη με $\frac{2}{3}$  και προσθέτοντας κατά μέλη, έχουμε

 $\displaystyle \sum t_r+\sum p_r \geq 1+ \sum t_r+\sum p_r$. Άτοπο.

ΥΓ:  Δεν πιστεύω να ήθελε κανείς από τους εκλεκτούς αναγνώστες του σημειώματος αυτού, να ασχοληθώ 
-με το Λαφαζάνη και το αντιμνημονιακό του μνημόνιο που φιλοδοξεί αυτή τη φορά να ευκαιρήσει να σώσει με εναλλακτικό τρόπο το σύστημα, αναδεικνύοντας δικά του νέα τζάκια (διάφοροι Περικλείς τσέπης, μεταξύ Χάμμερ και Ντεριπάτσκα);
-Με τους μαϊντανούς (ενίοτε και μεϊντανούς) που συνωστίζονται για μια θέση Λαφαζάνη στου Παναγιώτη;
-Με τον Τσίπρα που αντί για σύμβουλος της Μέρκελ έγινε, ως ανεμένετο, συμβαλλόμενος;
-Με τον απολυθέντα σύμβουλο Βαρουφάκη που ξαναγυρίζει στην αμερικάνικη σταρτάπ διασωστών του καθεστώτος;
-Με τους πτωματικούς σπασμούς του παλαιού ΠΑΣΟΚ;
-Με τον πολιτικό ταβλαδόρο που περνάει την ώρα του προεδρεύοντας στη ΝΔ ενώ ελπίζει να ξαναγίνει χρήσιμος στα αφεντικά (του);
-Με τη λοιπή «τσιμεντόκολλα» Θεοδωράκη, Καμμένου και δε συμμαζεύεται;
-Με τους λοβοτομημένους που ζητούν αξία χρήσης στους χιτλερικούς;
.....
Όσοι το ήθελαν, ας κάνουν τον κόπο να διαβάσουν την επόμενη τελευταία παράγραφο: η μόνη επαφή με την ελληνική πολιτική που προτίθεμαι να αναπτύξω στα επόμενα σημειώματα ώς τις πιθανότατες εκλογές,  θα εξαντληθεί σε παραλαγές της θέσης οτι η μόνη τοποθέτηση που αρμόζει στον ψηφοφόρο μη κεφαλαιούχο, είναι η ενίσχυση/συμπαράταξη με όσους εργάζονται για την ανατροπή του καπιταλισμού και τη λαϊκή εξουσία - όπως το ΚΚΕ.   

Recreationes mathematicæ

1.
α) Το ΧΑΑ διεξάγει υπό κανονικές συμθήκες, περίπου 246 συνεδριάσεις ετησίως. Αν ο δείκτης τιμών του κλείνει αυξημένος και μειωμένος εναλλάξ 2% σε κάθε συνεδρίαση, αρχίζοντας ας πούμε από το κλείσιμο της πρώτης συνεδρίασης του 2016, πόσο θα έχει μεταβληθεί ο δείκτης στο άνοιγμα της πρώτης συνεδρίασης του 2036 σε σχέση με την τιμή του τού ανοιγματος στην πρώτη του 2016;
β) Πόσο χρειάζεται να ανεβοκατεβαίνει μέρα παρά μέρα ο δείκτης (αντί για 2% όπως στο προηγούμενο ερώτημα) ώστε η ζητούμενη τιμή του α) να είναι 50% μείωση;

2.
Υποθέτουμε οτι 1€ είναι το ετήσιο μέγεθος της ελληνικής αγοράς προϊόντων που υπόκεινται σε α% ΦΠΑ, και οτι το κράτος εισπράττει το σύνολο των α/100€ του αναλογούντος φόρου, ενώ τα υπόλοιπα (1-α/100) καταλήγουν στους πωλητές. Υποθέτουμε επιπλέον οτι έχουμε να κάνουμε με ομοειδή προϊόντα, μιας ζητούμενης ποσότητας τ που αντιστοιχεί στο μέγεθος της αγοράς. Με σταθερό το μέγεθος της αγοράς και τις τιμές εκτός ΦΠΑ («μηδενική απορρόφηση»), καθώς και πλήρη την εισπραξιμότητα του φόρου, τι ποσό θα καταλήξει στα κρατικά ταμεία αν ο ΦΠΑ μεταβληθεί σε ρα για ρ>1; Να μελετηθεί η σχετική επιφάνεια f(ρ,α) και η καμπύλη ρ(α) για την οποία η διαφορά του τελικώς εισπραξόμενου ποσού από το ρα ελαχιστοποιείται.

3.
Στο σφαιρικό τρίγωνο που ορίζουν οι γεωδαισικές Κουάλα Λουμπούρ-Ντιέγκο Γκαρσία-Ρεϋνιόν να υπολογισθεί ο λόγος του ημιτόνου της γωνίας με κορυφή τη Ρεϋνιόν επί το μήκος της Ντιέγκο Γκ.-Ρεϋνιόν προς το ύψος του τριγώνου από το Ντίεγκο Γκαρσία.

Θα συνεχίσουμε με λιγότερο ελαφρύ πρόγραμμα.

  ΛΥΣΕΙΣ (στοιχεία. Προσθ. 08/8) 

1.  Το πρόβλημα (όπως φυσικά και τα δύο επόμενα) είναι γυμνασιακού επιπέδου. Η ουσία είναι οτι η εξέλιξη του δείκτη $x_t=r_tx_{t-1}$ για $t\geq 1$, με αρχική τιμή $x_0$ και $r_t$ ημερήσια ποσοστιαία μεταβολή για τη συνεδρίαση $t$  ($r=\frac{100+\rho}{100}$). Συνεπώς μετά από $n$ συνεδριάσεις η τελική $\displaystyle x_n=x_0\prod_{t=1}^{n}r_t$.
Παρατηρήστε οτι $\displaystyle \frac{1}{n}\sum_{t=1}^nr_t\geq (\prod_{t=1}^{n}r_t)^{\frac{1}{n}}$.

Πρόκειται για κλασσική ανισότητα που εξάγεται εύκολα από το γεγονός οτι η (αύξουσα με φθίνουσα πρώτη παράγωγο) συνάρτηση $\log n$ εἰναι κοίλη
(δηλ $\log(\lambda x+(1-\lambda)y)\geq \lambda\log(x)+(1-\lambda)\log(y), \forall \: x,y\geq 1$  και $\forall \: \lambda, \:0\leq \lambda \leq 1$).

Πρακτικότερα, $246\times20=4920$ συνεδριάσεις και $\displaystyle x_{4920}=x_0\prod_{t=1}^{4920}r_t=x_0[(1-0,02)(1+0,02)]^{2460}=x_0(1-0,0004)^{2460}$ που είναι κάτι μόλις παραπάνω από 37% του αρχικού δείκτη!
Για το β), αναζητήστε την τιμή του $\rho$ για την οποία $1-\left(\frac{\rho}{100}\right)^2=0,5^{\frac{1}{2460}}$, δηλαδή τελικά είναι $\displaystyle \rho=100\sqrt{1-0,5^{\frac{1}{2460}}}$. Το κομπιουτεράκι μου βγάζει $\rho \approx 1,67847$%.

Υπάρχει όμως και η άλλη όψη. Ακριβώς επειδή η επίδραση των ποσοστιαίων μεταβολών σωρεύεται πολλαπλασιαστικώς, μπορεί να υπολογίσει κανείς οτι αν μετατραπούν μόλις 25 συνεδριάσεις (χονδρικά, μια ανά έτος και μια δεύτερη ανά δίσεκτο...) από μειωτικές σε αυξητικές, ο δείκτης μετά από 20 χρόνια θα παραμείνει στα επίπεδα της αρχικής του τιμής.

Το δίδαγμα είναι σαφές ελπίζω: αποφεύγετε «αθροιστικούς» υπολογισμούς σε «πολλαπλασιαστικά» φαινόμενα. Οι εκτιμήσεις σας θα πέσουν πολύ έξω αν τους κάνετε. 

2. Με τις διατυπωμένες παραδοχές  θα πουληθούν $\displaystyle \tau'=\frac{100}{100+(\rho-1)\alpha}\tau$ προϊόντα οπότε θα εισπραχθεί $\displaystyle \frac{\rho}{100+(\rho-1)\alpha}\alpha$, δηλαδή $\displaystyle \rho'=\frac{100\rho}{100+(\rho-1)\alpha}$. 

Παρατηρήστε οτι μεγάλος συντελεστής ανάκτησης προκύπτει όταν εφαρμόζουμε σε χαμηλό ΦΠΑ μεγάλη αύξηση. Συγκεκριμένα, αν από το 13% πάμε στο 23% υπό τις ανειλημμένες παραδοχές, θα εισπράξουμε σαν να είχαμε 21,4% και αμετάβλητη κατανάλωση (προσέξτε οτι στην εφαρμογή του τύπου πάμε από το 11,5 στο 18,7 και ο,τι υπολογίσουμε σαν ΦΠΑ με τους όρους της εκφώνησης, θα το πολλαπλασιάσουμε με 1,23 για να γυρίσουμε στο ποσοστο επί της τιμής άνευ ΦΠΑ).

Μπακαλίστικη εφαρμογή: ας πούμε οτι πουλάμε 100 τσίχλες προς 1€ τη μια, με ΦΠΑ 100%. Δηλαδή $\alpha=50$, 50€ πάνε στον πωλητή και άλλα 50 στο κρατικό ταμείο. Θέλουμε $\rho=1,5$ ελπίζοντας να συλλέξουμε 75€ δηλαδή 25€ παραπάνω από πριν.  Η τιμή της τσίχλας θα πάει στα 1,25€ και με σταθερό το μέγεθος της αγοράς θα πουλήσουμε 80 τσίχλες και θα συλλέξουμε 60€, δηλαδή $\rho'=1,2$ ή 10€ περισσότερα από πριν. Θα καταλήξει στο ταμείο λοιπόν μόλις 40% του επιπλέον ποσού που αφελώς «υπολογίζαμε».

Το δίδαγμα είναι εδώ οτι όρια ξεζουμίσματος υπάρχουν. Είναι χονδροειδής και γι αυτό λανθασμένη η εκτίμηση οτι δεν θα μαζευτούν παραπάνω χρήματα αν αυξηθεί ο ΦΠΑ, επειδή θα «στεγνώσει» η αγορά (βέβαια ούτε τόσα όσα υπολογίζονται με τις παραδοχές αυτές, και γιατί θα υπάρξει τάση μείωσης της εισπραξιμότητας, και γιατί η ζήτηση μπορεί να μειωθεί δευτερογενώς με την ιεράρχηση αναγκών και με την αύξηση της ανεργίας που μπορεί να επιφέρει η πρωτογενής μείωση κτλ κτλ). Από την άλλη όμως, είναι απολύτως λανθασμένο οτι αύξηση του ΦΠΑ φέρνει ανάλογη αύξηση ροών στα κρατικά ταμεία.

3. Στα επίπεδα τρίγωνα, η τιμή αυτή πλησιάζει το 1, τόσο και μόνον τόσο όσο ο μεσαίος προορισμός βρίσκεται κοντά στην ευθεία των δύο ακραίων:  είναι $\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\left(\frac{\sin x}{x}\right)=1$.

Τι συμβαίνει όμως στα σφαιρικά τρίγωνα; 

Εδώ δεν υπάρχει μαθηματικό δίδαγμα, αλλά πραγματικό μυστήριο...

ΥΓ. Εξαιρετικό το script για εξισώσεις σε Latex!